根的外侧

现在反过来看这个问题。${x}^{2}-3x-10 \ge 0$可以因式分解为$\left(x-5\right)\left(x+2\right) \ge 0$，题目要找的是乘积大于或等于 0 的情况。当两个因式的符号相同时，乘积为正，因此有两种情况：两个因式都大于或等于 0，或者都小于或等于 0。

两个因式都大于或等于 0：$x \ge 5$且$x \ge -2$。从 5 开始的所有数都满足这两个条件，因此这种情况得到$x \ge 5$。两个因式都小于或等于 0：$x \le 5$且$x \le -2$，由此得到$x \le -2$。答案分为两段，分别是两个根外侧的数：$x \le -2$或$x \ge 5$。

“或”这个词很重要。没有任何数字既小于或等于 -2，又大于或等于 5，所以用“且”连接这些部分会表示空集。等号也很重要：在 -2 和 5 处，乘积都是 0，符号条件允许乘积为 0，因此答案包含这两个端点。