L’identité du quotient

Sur le cercle, la tangente est y sur x, et le point est (cos(x), sin(x)). Donc

tan(x) = sin(x)/cos(x)

partout où cos x n’est pas égal à 0. Son inverse est cot(x) = cos(x)/sin(x), partout où sin x n’est pas égal à 0. Réécrire tan et cot de cette façon est souvent la première étape d’une démonstration, car il ne reste alors que des sinus et des cosinus, qui peuvent se simplifier.

Prenons cot(x)sin(x). Écrivons cot sous forme de quotient : cos(x)/sin(x) · sin(x). Multiplions les numérateurs et les dénominateurs : (cos(x)sin(x))/sin(x). Le sin x du numérateur et le sin x du dénominateur se simplifient, et il reste cos x. Simplifier revient à diviser par sin x, ce qui est valable : là où sin x vaut 0, cot x n’était de toute façon pas défini.