Sommes en produits

Lisez les formules produit à l’envers, avec la demi-somme et la demi-différence des angles, et une somme devient un produit :

$$\sin\left(A\right)+\sin\left(B\right) = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

$$\cos\left(A\right)+\cos\left(B\right) = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

Pour $\sin\left(5x\right)+\sin\left(x\right)$, la demi-somme est 3x et la demi-différence est 2x, donc cela donne $2\sin\left(3x\right)\cos\left(2x\right)$.

C’est ainsi que sonnent ensemble deux notes de hauteurs presque identiques. Leur somme est une onde rapide à la hauteur moyenne, multipliée par une onde lente à la moitié de l’écart de hauteur. Le volume suit l’amplitude de l’onde lente, qui atteint son maximum deux fois par cycle ; le battement que vous entendez se répète donc à la fréquence correspondant à l’écart total : deux notes de 440 Hz et 442 Hz produisent deux battements par seconde.