Sommes en produits

Fait partie de la section Identités trigonométriques du Journey Trigonometry de Coddy. Leçon 44 sur 52.

Lisez les formules produit à l’envers, avec la demi-somme et la demi-différence des angles, et une somme devient un produit :

sin(A) + sin(B) = 2sin((A + B)/2)cos((A - B)/2)

cos(A) + cos(B) = 2cos((A + B)/2)cos((A - B)/2)

Pour sin(5x) + sin(x), la demi-somme est 3x et la demi-différence est 2x, donc cela donne 2sin(3x)cos(2x).

C’est ainsi que sonnent ensemble deux notes de hauteurs presque identiques. Leur somme est une onde rapide à la hauteur moyenne, multipliée par une onde lente à la moitié de l’écart de hauteur. Le volume suit l’amplitude de l’onde lente, qui atteint son maximum deux fois par cycle ; le battement que vous entendez se répète donc à la fréquence correspondant à l’écart total : deux notes de 440 Hz et 442 Hz produisent deux battements par seconde.

Défi

Dans un modèle simple, deux notes jouées ensemble donnent l’onde sin(42t) + sin(38t). Réécrivez-la sous forme d’un produit d’un sinus et d’un cosinus.

Saisissez vous-même chaque ligne suivante ; une ligne qui n’est pas égale à celle qui précède est refusée.

Utilisez la pastille de formule, puis saisissez le produit en calculant la demi-somme et la demi-différence. Appuyez ensuite sur Check.

Essayez vous-même

sin(42t) + sin(38t)

Simplifie l'expression