sin²x + cos²x = 1

Chaque point du cercle de rayon 1 centré à l’origine se trouve exactement à 1 du centre. Le point obtenu en tournant d’un angle x est (cos(x), sin(x)). Abaissez une droite de ce point jusqu’à l’axe des x : vous obtenez un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent cos x et sin x, et dont l’hypoténuse est le rayon, 1.

Côtés de l’angle droit cos x et sin x, hypoténuse 1.

Le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle donne l’identité sur laquelle repose tout le reste de cette section :

sin(x)² + cos(x)² = 1

sin(x)² est une écriture abrégée de (sin(x))², le sinus au carré. À 60°, cela donne (√(3)/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4, ce qui vaut 1. Comme cette égalité est vraie pour tous les angles, c’est une identité : tu peux remplacer un membre par l’autre partout où cela t’est utile. En faisant passer un carré de l’autre côté, on obtient deux autres formes, 1 - sin(x)² = cos(x)² et 1 - cos(x)² = sin(x)².

Sur le tableau, 2sin(x)² + 2cos(x)² nécessite trois pressions. Factoriser met le 2 en facteur et laisse 2(sin(x)² + cos(x)²) ; l’identité transforme la parenthèse en 1 ; et 2 fois 1 égale 2.