sin(A + B) et sin(A - B)

Le sinus d’une somme n’est pas la somme des sinus. Pour 30° et 30°, $\sin\left(60^{\circ}\right)$ vaut environ 0,87, tandis que $\sin\left(30^{\circ}\right)+\sin\left(30^{\circ}\right)$ vaut 1. Les formules exactes combinent sinus et cosinus :

$$\sin\left(A+B\right) = \sin\left(A\right)\cos\left(B\right)+\cos\left(A\right)\sin\left(B\right)$$

$$\sin\left(A-B\right) = \sin\left(A\right)\cos\left(B\right)-\cos\left(A\right)\sin\left(B\right)$$

Elles donnent des valeurs exactes pour les angles que les triangles particuliers ne permettent pas d’atteindre. 75° correspond à 45° + 30° :

$$\sin\left(45^{\circ}+30^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}$$

ce qui donne $\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$, donc $\sin\left(75^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, soit environ 0.966. Le signe au milieu suit le signe dans l’angle.