Valeurs des demi-angles

Remplacez x par x/2 dans les formules de réduction de puissance pour trouver les valeurs d’un angle moitié que vous connaissez :

$${\sin\left(\frac{x}{2}\right)}^{2} = \frac{1-\cos\left(x\right)}{2}$$

$${\cos\left(\frac{x}{2}\right)}^{2} = \frac{1+\cos\left(x\right)}{2}$$

15° est la moitié de 30°. Donc ${\sin\left(15^{\circ}\right)}^{2} = \frac{1-\cos\left(30^{\circ}\right)}{2} = \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$. On sort le facteur 1/2 du numérateur : $\frac{\frac{1}{2}\left(2-\sqrt{3}\right)}{2}$, ce qui donne $\frac{2-\sqrt{3}}{4}$.

La formule donne le carré. Pour obtenir sin 15° lui-même, on prend la racine carrée et on choisit le signe en fonction du quadrant : 15° se trouve dans le quadrant I, donc on prend la racine positive, $\sin\left(15^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$.