Tourner de 90° et de 180°

Ajouter un quart ou un demi-tour à un angle modifie son sinus et son cosinus d’une manière fixe, et les formules de somme montrent exactement comment. Les valeurs du sinus et du cosinus à 90°, 180° et 270° sont 0, 1 ou -1, donc un produit dans chaque formule s’annule.

Prenons $\sin\left(x+180^{\circ}\right)$. La formule donne $\sin\left(x\right)\cos\left(180^{\circ}\right)+\cos\left(x\right)\sin\left(180^{\circ}\right)$. Remplaçons par $\cos\left(180^{\circ}\right) = -1$ et $\sin\left(180^{\circ}\right) = 0$ : $\sin\left(x\right)\left(-1\right)+\cos\left(x\right)\left(0\right)$, ce qui donne $-\sin\left(x\right)$. Un demi-tour envoie le point de l’autre côté du centre, donc les deux coordonnées changent de signe.

Les cofonctions s’obtiennent de la même manière : $\sin\left(90^{\circ}-x\right) = \sin\left(90^{\circ}\right)\cos\left(x\right)-\cos\left(90^{\circ}\right)\sin\left(x\right)$, ce qui donne cos x.