tan(A + B) et tan(A - B)

Divisez sin(A + B) par cos(A + B), puis divisez le numérateur et le dénominateur par cos A cos B, et vous obtenez les formules de la tangente exprimées uniquement en tangentes :

$$\tan\left(A+B\right) = \frac{\tan\left(A\right)+\tan\left(B\right)}{1-\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

$$\tan\left(A-B\right) = \frac{\tan\left(A\right)-\tan\left(B\right)}{1+\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

Il faut que tan A et tan B existent (aucun des deux angles n’est égal à 90° plus un nombre entier de demi-tours) et que le dénominateur ne soit pas égal à 0. Au numérateur, le signe suit celui de l’angle ; au dénominateur, c’est le signe opposé. Pour 75° = 45° + 30°, avec tan 45° = 1 et $\tan\left(30^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ :

$$\tan\left(75^{\circ}\right) = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$$

Pour éliminer une racine au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par son conjugué, ici 3 + √3 : le dénominateur devient 9 - 3 = 6, le numérateur ${\left(3+\sqrt{3}\right)}^{2} = 12+6\sqrt{3}$, et $\tan\left(75^{\circ}\right) = 2+\sqrt{3}$.