tan(A + B) et tan(A - B)

Fait partie de la section Identités trigonométriques du Journey Trigonometry de Coddy. Leçon 30 sur 52.

Divisez sin(A + B) par cos(A + B), puis divisez le numérateur et le dénominateur par cos A cos B, et vous obtenez les formules de la tangente exprimées uniquement en tangentes :

tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 - tan(A)tan(B))

tan(A - B) = (tan(A) - tan(B))/(1 + tan(A)tan(B))

Il faut que tan A et tan B existent (aucun des deux angles n’est égal à 90° plus un nombre entier de demi-tours) et que le dénominateur ne soit pas égal à 0. Au numérateur, le signe suit celui de l’angle ; au dénominateur, c’est le signe opposé. Pour 75° = 45° + 30°, avec tan 45° = 1 et tan(30°) = √(3)/3 :

tan(75°) = (1 + √(3)/3)/(1 - √(3)/3) = (3 + √(3))/(3 - √(3))

Pour éliminer une racine au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par son conjugué, ici 3 + √3 : le dénominateur devient 9 - 3 = 6, le numérateur (3 + √(3))² = 12 + 6√(3), et tan(75°) = 2 + √(3).

Défi

Trouvez la valeur exacte de tan(45° + 60°), qui est tan 105° : utilisez la formule, éliminez la racine du dénominateur et simplifiez jusqu’à ce que le tableau affiche un nombre entier et une racine. Appuyez ensuite sur Vérifier.

Essayez vous-même

tan(45° + 60°)

Simplifie l'expression