Identité ou équation ?

sin(x) = 1/2 est vraie pour certains angles et fausse pour d’autres : sur un tour, uniquement à 30° et 150°. C’est une équation, et la résoudre signifie trouver ces angles. sin(x)² + cos(x)² = 1 est vraie pour tous les angles. C’est une identité, et il n’y a rien à résoudre.

Pour montrer qu’une affirmation n’est pas une identité, il suffit de trouver un angle pour lequel les deux membres ont des valeurs différentes. Prenons sin(x) + cos(x) = 1. À 0°, on obtient 0 + 1 = 1, et à 90°, on obtient 1 + 0 = 1 : deux vérifications sont donc concluantes. À 60°, on obtient √(3)/2 + 1/2, soit environ 1,37 : ce n’est donc pas une identité.

Le même exemple montre pourquoi vérifier des angles ne prouve jamais une identité : l’affirmation a été vérifiée deux fois et reste fausse. Une démonstration transforme un membre en l’autre à l’aide d’étapes valables pour tous les angles.