クロス積

比例 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$では、等号をまたいで掛け算します。左上と右下、左下と右上を掛けます。この交差積は常に等しくなります。$a\cdot d = b\cdot c$。$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$では、交差積は3 · 12と4 · 9で、どちらも36です。

なぜ成り立つのでしょうか？両方の分数の分母を同じにします。4 · 12 = 48です。すると、$\frac{3}{4}$は48分の36で、$\frac{9}{12}$も48分の36です。新しい分子は、交差積である3 · 12と9 · 4にほかなりません。分母が同じで等しい分数は、分子も同じでなければならないため、交差積も一致します。

これにより、約分せずに2つの比が等しいかどうかをすばやく確かめられます。$\frac{4}{6}$と$\frac{10}{15}$は等しいでしょうか？4 · 15は60で、6 · 10も60なので、等しいです。$\frac{3}{4}$と$\frac{5}{7}$はどうでしょうか？3 · 7は21ですが、4 · 5は20なので、等しくありません。