Błędne rozwiązanie

Podnoszenie do kwadratu sprawia, że dwie różne liczby wyglądają tak samo: -3 i 3 nie są równe, ale ich kwadraty są równe 9. Dlatego podnoszenie do kwadratu może zmienić fałszywe równanie w prawdziwe, a równanie po podniesieniu do kwadratu może mieć rozwiązania, których nie ma równanie wyjściowe.

Rozważmy $\sqrt{x+6} = x$. Podniesienie do kwadratu daje $x+6 = {x}^{2}$, więc ${x}^{2}-x-6 = 0$, co można rozłożyć na czynniki: $\left(x-3\right)\left(x+2\right) = 0$. Kandydatami są 3 i -2. Sprawdźmy każdy z nich w równaniu wyjściowym. Dla 3: $\sqrt{9}$ wynosi 3, a prawa strona to 3. Prawda. Dla -2: $\sqrt{4}$ wynosi 2, ale prawa strona to -2. Fałsz. Zatem -2 odrzucamy, a jedynym rozwiązaniem jest 3.

Rozwiązanie, które powstaje podczas pracy, ale nie spełnia równania wyjściowego, to rozwiązanie pozorne (w podręcznikach nazywane obcym). Nie jest to błąd w przekształceniach algebraicznych: pojawiło się wskutek podniesienia do kwadratu. Dlatego każde rozwiązanie sprawdza się w równaniu wyjściowym, nigdy w równaniu podniesionym do kwadratu, które spełniają oba.