Błędne rozwiązanie

Podnoszenie do kwadratu sprawia, że dwie różne liczby wyglądają tak samo: -3 i 3 nie są równe, ale ich kwadraty są równe 9. Dlatego podnoszenie do kwadratu może zmienić fałszywe równanie w prawdziwe, a równanie po podniesieniu do kwadratu może mieć rozwiązania, których nie ma równanie wyjściowe.

Rozważmy √(x + 6) = x. Podniesienie do kwadratu daje x + 6 = x^2, więc x^2 - x - 6 = 0, co można rozłożyć na czynniki: (x - 3)(x + 2) = 0. Kandydatami są 3 i -2. Sprawdźmy każdy z nich w równaniu wyjściowym. Dla 3: √(9) wynosi 3, a prawa strona to 3. Prawda. Dla -2: √(4) wynosi 2, ale prawa strona to -2. Fałsz. Zatem -2 odrzucamy, a jedynym rozwiązaniem jest 3.

Rozwiązanie, które powstaje podczas pracy, ale nie spełnia równania wyjściowego, to rozwiązanie pozorne (w podręcznikach nazywane obcym). Nie jest to błąd w przekształceniach algebraicznych: pojawiło się wskutek podniesienia do kwadratu. Dlatego każde rozwiązanie sprawdza się w równaniu wyjściowym, nigdy w równaniu podniesionym do kwadratu, które spełniają oba.