Potęga o wykładniku dwie trzecie

W wyrażeniu ${x}^{\frac{2}{3}}$ licznik wykładnika jest parzysty: ${x}^{\frac{2}{3}}$ to ${\left(cbrt\left(x\right)\right)}^{2}$, czyli pierwiastek sześcienny z x podniesiony do kwadratu. Kwadrat ukrywa znak, więc dwie liczby mogą mieć tę samą potęgę. Weźmy ${x}^{\frac{2}{3}} = 9$. Pierwiastek sześcienny z 27 to 3, a 3 do kwadratu to 9, więc 27 spełnia równanie. Pierwiastek sześcienny z -27 to -3, a ${\left(-3\right)}^{2}$ również wynosi 9, więc -27 też spełnia równanie.

Aby rozwiązać równanie, podnieś obie strony do potęgi 3/2. Prawa strona będzie równa 27, czyli dodatniej liczbie, której potęga 2/3 wynosi 9, jak wyżej. Lewa strona nie będzie równa x: potęga 2/3 ukryła znak x, a potęga 3/2 wyciąga pierwiastek kwadratowy, który nie może przywrócić znaku. Lewa strona będzie więc równa $\left|x\right|$:

$${\left({x}^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{3}{2}} = \left|x\right|$$

$\left|x\right| = 27$ oznacza, że x = 27 lub x = -27, tak samo jak ${x}^{2} = 9$ daje 3 i -3.

Dwa szybkie testy wynikają z tego samego obrazu. Mianownik, 3, jest nieparzysty, więc pierwiastek sześcienny przyjmuje dowolną liczbę i żadnej z odpowiedzi nie trzeba odrzucać. Licznik, 2, jest parzysty, więc potęga nigdy nie jest ujemna: ${x}^{\frac{2}{3}} = -9$ nie ma rozwiązania rzeczywistego.