Potęga o wykładniku dwie trzecie

W wyrażeniu x^(2/3) licznik wykładnika jest parzysty: x^(2/3) to (cbrt(x))^2, czyli pierwiastek sześcienny z x podniesiony do kwadratu. Kwadrat ukrywa znak, więc dwie liczby mogą mieć tę samą potęgę. Weźmy x^(2/3) = 9. Pierwiastek sześcienny z 27 to 3, a 3 do kwadratu to 9, więc 27 spełnia równanie. Pierwiastek sześcienny z -27 to -3, a (-3)^2 również wynosi 9, więc -27 też spełnia równanie.

Aby rozwiązać równanie, podnieś obie strony do potęgi 3/2. Prawa strona będzie równa 27, czyli dodatniej liczbie, której potęga 2/3 wynosi 9, jak wyżej. Lewa strona nie będzie równa x: potęga 2/3 ukryła znak x, a potęga 3/2 wyciąga pierwiastek kwadratowy, który nie może przywrócić znaku. Lewa strona będzie więc równa |x|:

(x^(2/3))^(3/2) = |x|

|x| = 27 oznacza, że x = 27 lub x = -27, tak samo jak x^2 = 9 daje 3 i -3.

Dwa szybkie testy wynikają z tego samego obrazu. Mianownik, 3, jest nieparzysty, więc pierwiastek sześcienny przyjmuje dowolną liczbę i żadnej z odpowiedzi nie trzeba odrzucać. Licznik, 2, jest parzysty, więc potęga nigdy nie jest ujemna: x^(2/3) = -9 nie ma rozwiązania rzeczywistego.