Odwrotność kwadratu

Część sekcji Pierwiastki i wykładniki wymierne ścieżki Algebra 2 w Coddy. Lekcja 34 z 40.

Reguła $f\left(x\right) = {x}^{2}$ w tej postaci nie ma funkcji odwrotnej. Zarówno 2, jak i -2 dają 4, więc funkcja odwrotna dla 4 musiałaby mieć dwie odpowiedzi. Rozwiązaniem jest ograniczenie f do argumentów $x \ge 0$ . Wtedy każdej wartości wyjściowej odpowiada tylko jeden argument.

Rozważmy $f\left(x\right) = {x}^{2}-3$ dla $x \ge 0$ . Zamieniamy x i y jak zwykle: $x = {y}^{2}-3$ . Rozwiązujemy równanie względem y: przeniesienie -3 na drugą stronę daje $x+3 = {y}^{2}$ , a wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z obu stron daje dwie odpowiedzi: $y = \sqrt{x+3}$ oraz $y = -\sqrt{x+3}$ .

Ograniczenie wybiera jedno z nich. Wartości funkcji odwrotnej są argumentami funkcji f, a te są co najmniej równe 0. Pierwiastek z minusem daje wartości ujemne, więc otrzymujemy: ${f}^{-1}\left(x\right) = \sqrt{x+3}$ . Sprawdźmy: f(2) wynosi 1, a funkcja odwrotna przyporządkowuje 1 wartość $\sqrt{4}$ , czyli 2. Przy ograniczonej dziedzinie funkcją odwrotną do funkcji podnoszącej do kwadratu jest pierwiastek kwadratowy.

Wyzwanie

Znajdź funkcję odwrotną do $f\left(x\right) = {x}^{2}+1$ dla $x \ge 0$ . Na tablicy znajduje się równanie z zamienionymi miejscami $x = {y}^{2}+1$ . Zapisz samodzielnie kolejne linie: najpierw samo wyrażenie z kwadratem, a potem y. Ponieważ f przyjmuje tylko argumenty $x \ge 0$ , jej funkcja odwrotna daje tylko wartości co najmniej 0, więc pozostaw tylko pierwiastek z plusem.