Odwrotność kwadratu

Część sekcji Pierwiastki i wykładniki wymierne ścieżki Algebra 2 w Coddy. Lekcja 37 z 43.

Reguła f(x) = x^2 w tej postaci nie ma funkcji odwrotnej. Zarówno 2, jak i -2 dają 4, więc funkcja odwrotna dla 4 musiałaby mieć dwie odpowiedzi. Rozwiązaniem jest ograniczenie f do argumentów x >= 0. Wtedy każdej wartości wyjściowej odpowiada tylko jeden argument.

Rozważmy f(x) = x^2 - 3 dla x >= 0. Zamieniamy x i y jak zwykle: x = y^2 - 3. Rozwiązujemy równanie względem y: przeniesienie -3 na drugą stronę daje x + 3 = y^2, a wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z obu stron daje dwie odpowiedzi: y = √(x + 3) oraz y = -√(x + 3).

Ograniczenie wybiera jedno z nich. Wartości funkcji odwrotnej są argumentami funkcji f, a te są co najmniej równe 0. Pierwiastek z minusem daje wartości ujemne, więc otrzymujemy: f^-1(x) = √(x + 3). Sprawdźmy: f(2) wynosi 1, a funkcja odwrotna przyporządkowuje 1 wartość √(4), czyli 2. Przy ograniczonej dziedzinie funkcją odwrotną do funkcji podnoszącej do kwadratu jest pierwiastek kwadratowy.

Wyzwanie

Znajdź funkcję odwrotną do f(x) = x^2 + 1 dla x >= 0. Na tablicy znajduje się równanie z zamienionymi miejscami x = y^2 + 1. Zapisz samodzielnie kolejne linie: najpierw samo wyrażenie z kwadratem, a potem y. Ponieważ f przyjmuje tylko argumenty x >= 0, jej funkcja odwrotna daje tylko wartości co najmniej 0, więc pozostaw tylko pierwiastek z plusem.

Spróbuj swoich sił

x = y^2 + 1

Wyznacz y