Pary sprzężone

Pomnóż $\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)$. Cztery iloczyny to 16, $4\sqrt{3}$, $-4\sqrt{3}$ i -3. Dwa środkowe wyrazy są przeciwne i się redukują, więc zostaje 16 minus 3, czyli 13. Żaden pierwiastek nie pozostaje.

Tak dzieje się zawsze. Nawiasy $a-\sqrt{b}$ i $a+\sqrt{b}$ różnią się tylko znakiem między swoimi wyrazami; nazywamy je sprzężonymi. Ich iloczyn to różnica kwadratów:

$$\left(a-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{b}\right) = {a}^{2}-b$$

Właśnie dlatego sprzężenia mają znaczenie: gdy a i b są liczbami całkowitymi, zamieniają wyrażenie z pierwiastkiem w liczbę całkowitą. W następnym rozdziale dowiesz się, jak za ich pomocą usunąć pierwiastek z mianownika ułamka.