Inversa de um Quadrado

Parte da seção Radicais e Expoentes Racionais do Journey de Algebra 2 da Coddy. Lição 34 de 40.

A regra $f\left(x\right) = {x}^{2}$ não tem inversa como está. Tanto 2 quanto -2 resultam em 4, então uma inversa consultada para 4 precisaria ter duas respostas. A solução é restringir f às entradas $x \ge 0$ . Assim, cada saída vem de uma única entrada.

Considere $f\left(x\right) = {x}^{2}-3$ para $x \ge 0$ . Troque x e y como de costume: $x = {y}^{2}-3$ . Isole y: ao passar o -3 para o outro lado, obtemos $x+3 = {y}^{2}$ , e tirar a raiz quadrada dos dois lados dá duas respostas, $y = \sqrt{x+3}$ e $y = -\sqrt{x+3}$ .

A restrição seleciona uma delas. As saídas da inversa são as entradas de f, e elas são pelo menos 0. A raiz negativa produz saídas negativas, então fica: ${f}^{-1}\left(x\right) = \sqrt{x+3}$ . Confira: f(2) é 1, e a inversa transforma 1 em $\sqrt{4}$ , que é 2. Em um domínio restrito, a inversa de um quadrado é uma raiz quadrada.

Desafio

Encontre a inversa de $f\left(x\right) = {x}^{2}+1$ para $x \ge 0$ . O quadro apresenta a equação com as variáveis trocadas $x = {y}^{2}+1$ . Escreva as linhas você mesmo: primeiro, deixe apenas o quadrado isolado; depois, y. Como f só aceita entradas $x \ge 0$ , sua inversa só produz saídas maiores ou iguais a 0, então mantenha apenas a raiz positiva.