Inversa de um Quadrado

Parte da seção Radicais e Expoentes Racionais do Journey de Algebra 2 da Coddy. Lição 37 de 43.

A regra f(x) = x^2 não tem inversa como está. Tanto 2 quanto -2 resultam em 4, então uma inversa consultada para 4 precisaria ter duas respostas. A solução é restringir f às entradas x >= 0. Assim, cada saída vem de uma única entrada.

Considere f(x) = x^2 - 3 para x >= 0. Troque x e y como de costume: x = y^2 - 3. Isole y: ao passar o -3 para o outro lado, obtemos x + 3 = y^2, e tirar a raiz quadrada dos dois lados dá duas respostas, y = √(x + 3) e y = -√(x + 3).

A restrição seleciona uma delas. As saídas da inversa são as entradas de f, e elas são pelo menos 0. A raiz negativa produz saídas negativas, então fica: f^-1(x) = √(x + 3). Confira: f(2) é 1, e a inversa transforma 1 em √(4), que é 2. Em um domínio restrito, a inversa de um quadrado é uma raiz quadrada.

Desafio

Encontre a inversa de f(x) = x^2 + 1 para x >= 0. O quadro apresenta a equação com as variáveis trocadas x = y^2 + 1. Escreva as linhas você mesmo: primeiro, deixe apenas o quadrado isolado; depois, y. Como f só aceita entradas x >= 0, sua inversa só produz saídas maiores ou iguais a 0, então mantenha apenas a raiz positiva.

Experimente você mesmo

x = y^2 + 1

Isole y