Potência de Dois Terços

Em ${x}^{\frac{2}{3}}$, o numerador do expoente é par: ${x}^{\frac{2}{3}}$ é ${\left(cbrt\left(x\right)\right)}^{2}$, a raiz cúbica de x, elevada ao quadrado. Um quadrado esconde o sinal, então dois números podem ter essa mesma potência. Considere ${x}^{\frac{2}{3}} = 9$. A raiz cúbica de 27 é 3, e 3 ao quadrado é 9, então 27 funciona. A raiz cúbica de -27 é -3, e ${\left(-3\right)}^{2}$ também é 9, então -27 também funciona.

Para resolver, eleve ambos os lados à potência 3/2. O lado direito se torna 27, o número positivo cuja potência 2/3 é 9, como vimos acima. O lado esquerdo não se torna x: a potência 2/3 eliminou o sinal de x ao elevar ao quadrado, e a potência 3/2 calcula uma raiz quadrada, que não pode trazer o sinal de volta. Portanto, o lado esquerdo se torna $\left|x\right|$:

$${\left({x}^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{3}{2}} = \left|x\right|$$

$\left|x\right| = 27$ significa que x = 27 ou x = -27, da mesma forma que ${x}^{2} = 9$ resulta em 3 e -3.

Dois testes rápidos vêm da mesma representação. O número de baixo, 3, é ímpar, então a raiz cúbica aceita qualquer número e nenhuma das respostas precisa ser descartada. O número de cima, 2, é par, então a potência nunca é negativa: ${x}^{\frac{2}{3}} = -9$ não tem resposta real.