Uma raiz no denominador

Observe $\frac{6}{\sqrt{3}}$. É um número perfeitamente válido, mas, para estimá-lo, você teria que dividir 6 por 1.732 manualmente. Então, há um acordo: mantenha as raízes fora do denominador de uma fração. Reescrever uma fração para que seu denominador não tenha raiz é chamado de racionalização do denominador, porque o denominador se torna um número racional.

A ferramenta é um fato do capítulo anterior: uma raiz multiplicada por ela mesma é o que estava dentro dela, $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} = 3$. Multiplique o numerador e o denominador por $\sqrt{3}$. Isso é o mesmo que multiplicar por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$, que é 1, então o valor não muda:

$$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3}$$

Agora simplifique o 3 com o 6, e a resposta é $2\sqrt{3}$. Por que se dar ao trabalho? Um denominador inteiro é mais fácil de usar: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ é metade de 1.414, um cálculo que você consegue fazer de cabeça, enquanto $\frac{1}{\sqrt{2}}$ é o mesmo número, mas exige que você divida por 1.414. Usar uma forma padrão também facilita a comparação das respostas: $\frac{5}{\sqrt{5}}$ e $\sqrt{5}$ parecem diferentes, e a racionalização mostra que são iguais.