Тангенс — это y, делённое на x

$\tan\left(\theta\right) = \frac{\sin\left(\theta\right)}{\cos\left(\theta\right)}$, поэтому на единичной окружности тангенс — это y, делённый на x: подъём, делённый на горизонтальное смещение, то есть наклон радиуса к точке.

При 30° точка имеет координаты (√3/2, 1/2), поэтому $\tan\left(30^{\circ}\right) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$, что равно 1/√3, или $\frac{\sqrt{3}}{3}$. При 135° точка имеет координаты (−√2/2, √2/2): величины равны, знаки противоположны, поэтому tan 135° = −1, а радиус наклонён вниз вправо.

Для других углов используйте те же два вопроса, что и раньше: тангенс опорного угла задаёт величину (√3/3, 1 или √3), четверть задаёт знак. Тангенс положителен в I и III четвертях, где горизонтальная и вертикальная координаты имеют одинаковый знак.