Division durch ein quadratisches Polynom

Am Vorgehen ändert sich nichts, wenn der Divisor quadratisch ist: Du teilst weiterhin die führenden Terme. Betrachte (x^3 + 3x^2 + 4x + 5)/(x^2 + x + 1). x^3 geteilt durch x^2 ist x. Multiplizieren: x(x^2 + x + 1) ist x^3 + x^2 + x. Subtrahieren: 2x^2 + 3x + 5 bleibt übrig.

Die zweite Runde: 2x^2 geteilt durch x^2 ist 2. Multiplizieren: 2(x^2 + x + 1) ist 2x^2 + 2x + 2. Subtrahieren: x + 3 bleibt übrig. Darin kommt noch ein x vor, aber sein Grad, 1, ist kleiner als der Grad des Divisors, 2, also hörst du auf:

(x^3 + 3x^2 + 4x + 5)/(x^2 + x + 1) = x + 2 + (x + 3)/(x^2 + x + 1)

Bei einem quadratischen Divisor kann der Rest also ein x enthalten. Die Abbruchregel ist die, die du kennst: Der Grad des Rests muss niedriger sein als der des Divisors. Bei einem Divisor mit einer Lücke ist dieselbe Sorgfalt nötig wie bei einem Dividend mit einer Lücke: Ordne gleichartige Terme untereinander an, bevor du subtrahierst.