Der Faktorsatz
Teil des Abschnitts Polynome und rationale Terme der Algebra 2-Journey von Coddy. Lektion 8 von 54.
Ein Rest von null ist der Sonderfall. Wenn p(a) = 0, bleibt bei der Division durch x - a nichts übrig, also gilt p(x) = (x - a)q(x) und x - a ist ein Faktor. Auch die Umkehrung gilt: Wenn x - a ein Faktor ist, dann gilt p(a) = 0. Das ist der Faktorsatz.
Betrachte p(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2. Ist x - 1 ein Faktor? Berechne p(1): 1 - 2 - 1 + 2 ist null, also ja. Ist x - 3 ein Faktor? p(3) ist 27 - 18 - 3 + 2, also 8, daher nein: Bei der Division durch x - 3 bliebe 8 übrig.
Eine Auswertung ersetzt eine ganze lange Division. Sie verknüpft auch Faktoren mit Nullstellen: x - 1 ist genau dann ein Faktor, wenn 1 eine Nullstelle ist, also die Stelle, an der der Graph von p die x-Achse schneidet. Bei x + 4 prüfe p(-4).
Aufgabe
Ist x + 2 ein Faktor von p(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4? Da x + 2 gleich x - (-2) ist, enthält das Feld den Wert von p an der Stelle -2. Tippe auf Use p(x) = ... und gib dann die Rechenzeile Schritt für Schritt ein.
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Alle Lektionen in Polynome und rationale Terme
1Polynomdivision mit schriftlicher Division
So funktioniert die schriftliche DivisionEin Term nach dem anderenEin Rest bleibt übrigEin fehlender TermDivision durch ein quadratisches PolynomRückblick: Schriftliche Division4Polynomgleichungen
Zuerst den gemeinsamen Faktor ausklammernLösen durch GruppierenVierte PotenzenRückblick: Polynomgleichungen2Reste und Faktoren
Der RestsatzDer FaktorsatzEine fehlende Zahl findenEinen bekannten Faktor verwendenZusammenfassung: Reste und Faktoren5Vorzeichentabellen
Zwischen den NullstellenAußerhalb der NullstellenEin negativer LeitkoeffizientEine Vorzeichentabelle lesenWiederholung: Vorzeichentabellen8Rationale Gleichungen
Brüche beseitigenx im NennerÜber Kreuz multiplizierenEine falsche LösungEine richtige, eine falscheWiederholung: Rationale Gleichungen11Abschließende Herausforderungen
Abschluss: Teile es aufAbschluss: Jede WurzelAbschluss: Ein BruchAbschluss: Überprüfe die AntwortAbschluss: Die Vorzeichentabelle3Faktorisieren höheren Grades
Faktorisieren durch GruppierenDurchgehend gruppierenDifferenz von KubenSumme von KubenEine quadratische Gleichung im VerborgenenWiederholung: Faktorisieren