Über Kreuz multiplizieren

Wenn jede Seite ein einzelner Bruch ist, gibt es eine Abkürzung. Bei $\frac{4}{x+2} = \frac{3}{x-1}$ multipliziere jeden Zähler mit dem Nenner der anderen Seite und setze die Produkte gleich. Das nennt man Kreuzmultiplikation:

$$4\left(x-1\right) = 3\left(x+2\right)$$

Warum funktioniert das? Es ist dasselbe, als würde man beide Seiten mit beiden Nennern multiplizieren, $\left(x+2\right)\left(x-1\right)$. Auf jeder Seite kürzt sich ein Nenner heraus, während der andere stehen bleibt und neben dem gegenüberliegenden Zähler landet. Das funktioniert nur, wenn jede Seite ein Bruch ist: $\frac{1}{x}+2 = \frac{3}{x}$ hat auf der linken Seite zwei Terme, also beseitigst du die Nenner auf die aufwendige Weise.

Von dort an ist es linear: $4x-4 = 3x+6$, also ist x gleich 10. Die Nenner enthielten x, also prüfe es: Bei 10 ist weder $x+2$ noch $x-1$ gleich 0, und beide Seiten sind 1/3.