Ein negativer Leitkoeffizient

In $-{x}^{2}-x+12 > 0$ steht vor dem quadratischen Term ein Minus. Beim Faktorisieren bleibt dieses Minus außerhalb der Klammern: $-\left(x+4\right)\left(x-3\right) > 0$. Das Minus multipliziert das Produkt mit -1. Damit der gesamte Ausdruck positiv ist, muss das Produkt $\left(x+4\right)\left(x-3\right)$ also negativ sein.

Dadurch kehrt sich das Bild um. Ohne das Minus ist dieses Produkt außerhalb der Nullstellen positiv; mit dem Minus ist der Ausdruck zwischen ihnen positiv. Die Faktoren müssen unterschiedliche Vorzeichen haben: $x+4 > 0$ und $x-3 < 0$ ergibt $-4 < x < 3$; der andere Fall, dass x gleichzeitig kleiner als -4 und größer als 3 ist, ist unmöglich.

Der Graph stimmt damit überein. Ein negativer quadratischer Term lässt die Parabel nach unten geöffnet sein, sodass sie nur zwischen ihren Nullstellen oberhalb der x-Achse liegt. Es funktioniert auch, zuerst beide Seiten mit -1 zu multiplizieren, solange du das Ungleichheitszeichen umdrehst: $\left(x+4\right)\left(x-3\right) < 0$.