Vierte Potenzen

x^4 - 17x^2 + 16 = 0 sieht wie eine schwierige Gleichung vierten Grades aus, enthält aber nur x^4 und x^2, und x^4 ist (x^2)^2. Betrachte x^2 als eine Unbekannte, dann ist es eine quadratische Gleichung: diese Unbekannte zum Quadrat, minus das 17-Fache davon, plus 16. Zwei Zahlen, deren Produkt 16 und deren Summe -17 ist, sind -1 und -16, also lässt sich die Gleichung faktorisieren als (x^2 - 1)(x^2 - 16) = 0.

Jede Klammer ist eine Differenz von Quadraten, daher zerfällt die linke Seite in vier Faktoren: (x + 1)(x - 1)(x + 4)(x - 4). Betrachte die Fälle einzeln, und du erhältst vier Lösungen: 1, -1, 4 und -4. Eine Gleichung vierten Grades hat höchstens vier Lösungen, und diese Gleichung hat sie alle.

Nicht jede Klammer führt zu reellen Lösungen. x^4 - 21x^2 - 100 = 0 lässt sich faktorisieren zu (x^2 - 25)(x^2 + 4) = 0, und x^2 = -4 hat keine reelle Lösung, da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ ist. Die einzigen reellen Lösungen sind 5 und -5.