Vierte Potenzen

${x}^{4}-17{x}^{2}+16 = 0$ sieht wie eine schwierige Gleichung vierten Grades aus, enthält aber nur ${x}^{4}$ und ${x}^{2}$, und ${x}^{4}$ ist ${\left({x}^{2}\right)}^{2}$. Betrachte ${x}^{2}$ als eine Unbekannte, dann ist es eine quadratische Gleichung: diese Unbekannte zum Quadrat, minus das 17-Fache davon, plus 16. Zwei Zahlen, deren Produkt 16 und deren Summe -17 ist, sind -1 und -16, also lässt sich die Gleichung faktorisieren als $\left({x}^{2}-1\right)\left({x}^{2}-16\right) = 0$.

Jede Klammer ist eine Differenz von Quadraten, daher zerfällt die linke Seite in vier Faktoren: $\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x-4\right)$. Betrachte die Fälle einzeln, und du erhältst vier Lösungen: 1, -1, 4 und -4. Eine Gleichung vierten Grades hat höchstens vier Lösungen, und diese Gleichung hat sie alle.

Nicht jede Klammer führt zu reellen Lösungen. ${x}^{4}-21{x}^{2}-100 = 0$ lässt sich faktorisieren zu $\left({x}^{2}-25\right)\left({x}^{2}+4\right) = 0$, und ${x}^{2} = -4$ hat keine reelle Lösung, da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ ist. Die einzigen reellen Lösungen sind 5 und -5.