Lösen durch Gruppieren

Wenn ein kubisches Polynom vier Terme hat und kein Faktor allen gemeinsam ist, versuche es mit Ausklammern durch Gruppieren. Betrachte x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = 0. Die ersten beiden Terme haben x^2 gemeinsam und die letzten beiden -9, also ist die linke Seite x^2(x - 3) - 9(x - 3). Nun ist x - 3 ein gemeinsamer Faktor: (x - 3)(x^2 - 9) = 0. Die Klammer x^2 - 9 ist eine Differenz von Quadraten, daher lautet die gesamte Gleichung (x - 3)(x + 3)(x - 3) = 0.

Bei der Fallunterscheidung erhält man 3, dann -3 und anschließend wieder 3. Der Faktor x - 3 kommt zweimal vor, also ist 3 eine mehrfache Nullstelle. In der Antwort zählt sie nur einmal: Die Lösungen sind 3 und -3. Eine Antwort ist eine Zahlenmenge, und in einer Menge kommt jede Zahl nur einmal vor, egal wie viele Faktoren auf sie verweisen. In einem Graphen berührt die Kurve bei einer Nullstelle mit gerader Vielfachheit, wie hier bei 3, die x-Achse und kehrt um. Eine Nullstelle mit ungerader Vielfachheit wird gekreuzt: (x - 1)^3 kreuzt die x-Achse bei 1.