Außerhalb der Nullstellen

Drehen wir die Frage nun um. ${x}^{2}-3x-10 \ge 0$ lässt sich faktorisieren zu $\left(x-5\right)\left(x+2\right) \ge 0$, und gefragt ist, für welche Werte das Produkt positiv oder null ist. Ein Produkt ist positiv, wenn beide Faktoren dasselbe Vorzeichen haben. Es gibt also zwei Fälle: Beide Faktoren sind mindestens 0 oder beide sind höchstens 0.

Beide mindestens 0: $x \ge 5$ und $x \ge -2$. Jede Zahl ab 5 erfüllt beide Bedingungen, also ergibt dieser Fall $x \ge 5$. Beide höchstens 0: $x \le 5$ und $x \le -2$. Daraus folgt $x \le -2$. Die Lösung besteht aus zwei getrennten Bereichen, den Zahlen außerhalb der Nullstellen: $x \le -2$ oder $x \ge 5$.

Das Wort oder ist wichtig. Keine Zahl ist gleichzeitig höchstens -2 und mindestens 5, daher würde eine Verbindung der Teilbereiche mit und nichts beschreiben. Auch das Gleichheitszeichen ist wichtig: Bei -2 und bei 5 ist das Produkt 0, was das Vorzeichen zulässt; daher gehören beide Endpunkte zur Lösung.