Eine falsche Lösung

Löse $\frac{x+1}{x-1} = \frac{2}{x-1}+4$. Multipliziere beide Seiten mit $x-1$, um $x+1 = 2+4\left(x-1\right)$ zu erhalten. Multipliziere aus: $x+1 = 4x-2$, also ist 3x gleich 3 und x gleich 1. Setze nun 1 in die ursprüngliche Gleichung ein: $x-1$ ist 0, und durch 0 darf man nicht teilen. x = 1 ist überhaupt keine Lösung.

Wie kam es dazu? Bei x = 1 bedeutete die Multiplikation mit $x-1$, beide Seiten mit 0 zu multiplizieren, wodurch beliebige zwei Seiten gleich werden. Die neue Gleichung hat also eine Lösung, die die ursprüngliche Gleichung nie hatte. Eine solche Antwort nennt man Scheinlösung: eine falsche Antwort, die durch die Rechnung entstanden ist und von der ursprünglichen Gleichung nicht akzeptiert wird.

Da x = 1 ausgeschlossen wurde und nichts anderes übrig bleibt, hat diese Gleichung keine Lösung. Das ist eine richtige, vollständige Antwort und kein Misserfolg.