Eine falsche Lösung
Teil des Abschnitts Polynome und rationale Terme der Algebra 2-Journey von Coddy. Lektion 40 von 54.
Löse (x + 1)/(x - 1) = 2/(x - 1) + 4. Multipliziere beide Seiten mit x - 1, um x + 1 = 2 + 4(x - 1) zu erhalten. Multipliziere aus: x + 1 = 4x - 2, also ist 3x gleich 3 und x gleich 1. Setze nun 1 in die ursprüngliche Gleichung ein: x - 1 ist 0, und durch 0 darf man nicht teilen. x = 1 ist überhaupt keine Lösung.
Wie kam es dazu? Bei x = 1 bedeutete die Multiplikation mit x - 1, beide Seiten mit 0 zu multiplizieren, wodurch beliebige zwei Seiten gleich werden. Die neue Gleichung hat also eine Lösung, die die ursprüngliche Gleichung nie hatte. Eine solche Antwort nennt man Scheinlösung: eine falsche Antwort, die durch die Rechnung entstanden ist und von der ursprünglichen Gleichung nicht akzeptiert wird.
Da x = 1 ausgeschlossen wurde und nichts anderes übrig bleibt, hat diese Gleichung keine Lösung. Das ist eine richtige, vollständige Antwort und kein Misserfolg.
Aufgabe
Löse x/(x - 4) = 4/(x - 4) + 2. Überprüfe jede Antwort in der ursprünglichen Gleichung.
Probier es selbst
x isolieren
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Alle Lektionen in Polynome und rationale Terme
1Polynomdivision mit schriftlicher Division
So funktioniert die schriftliche DivisionEin Term nach dem anderenEin Rest bleibt übrigEin fehlender TermDivision durch ein quadratisches PolynomRückblick: Schriftliche Division4Polynomgleichungen
Zuerst den gemeinsamen Faktor ausklammernLösen durch GruppierenVierte PotenzenRückblick: Polynomgleichungen2Reste und Faktoren
Der RestsatzDer FaktorsatzEine fehlende Zahl findenEinen bekannten Faktor verwendenZusammenfassung: Reste und Faktoren5Vorzeichentabellen
Zwischen den NullstellenAußerhalb der NullstellenEin negativer LeitkoeffizientEine Vorzeichentabelle lesenWiederholung: Vorzeichentabellen8Rationale Gleichungen
Brüche beseitigenx im NennerÜber Kreuz multiplizierenEine falsche LösungEine richtige, eine falscheWiederholung: Rationale Gleichungen11Abschließende Herausforderungen
Abschluss: Teile es aufAbschluss: Jede WurzelAbschluss: Ein BruchAbschluss: Überprüfe die AntwortAbschluss: Die Vorzeichentabelle3Faktorisieren höheren Grades
Faktorisieren durch GruppierenDurchgehend gruppierenDifferenz von KubenSumme von KubenEine quadratische Gleichung im VerborgenenWiederholung: Faktorisieren