Faktorisieren durch Gruppieren

Vier Terme, die keinen gemeinsamen Faktor haben, können trotzdem faktorisiert werden. Betrachte ${x}^{3}+2{x}^{2}+5x+10$. Teile den Ausdruck in zwei Paare auf und faktorisiere jedes Paar für sich: ${x}^{3}+2{x}^{2}$ ist ${x}^{2}\left(x+2\right)$, und $5x+10$ ist $5\left(x+2\right)$.

Aus beiden Paaren blieb dieselbe Klammer übrig. Jetzt ist $x+2$ ein gemeinsamer Faktor der beiden Teile, genauso wie y in 3y + 5y, also klammere ihn aus:

$${x}^{2}\left(x+2\right)+5\left(x+2\right) = \left(x+2\right)\left({x}^{2}+5\right)$$

Ausklammern durch Gruppieren funktioniert nur, wenn die beiden Klammern übereinstimmen; hier ist das der Fall, weil 1 und 2 im selben Verhältnis stehen wie 5 und 10. Und ${x}^{2}+5$ hat keine reellen Faktoren: Für reelle x ist der Ausdruck niemals null.