Zuerst die Nenner faktorisieren

Betrachte $\frac{2}{{x}^{2}-25}+\frac{1}{x-5}$. Wenn du die Nenner multiplizierst, erhältst du einen Term dritten Grades – viel mehr, als du brauchst. Faktorisiere zuerst: ${x}^{2}-25 = \left(x+5\right)\left(x-5\right)$. Jetzt siehst du, dass der zweite Nenner, $x-5$, bereits im ersten enthalten ist.

Der kleinste gemeinsame Nenner ist also einfach $\left(x+5\right)\left(x-5\right)$. Der erste Bruch hat ihn bereits, und beim zweiten fehlt nur noch $x+5$:

$$\frac{2}{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}+\frac{x+5}{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}$$

Warum faktorisieren? Ein gemeinsamer Nenner wird aus Faktoren gebildet: Jeder Faktor jedes Nenners muss darin vorkommen, aber nichts darüber hinaus. Gemeinsame Faktoren sind erst sichtbar, wenn die Nenner faktorisiert sind. Wenn man die Zähler addiert, erhält man $\frac{x+7}{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}$.