Differenz von Kuben
Teil des Abschnitts Polynome und rationale Terme der Algebra 2-Journey von Coddy. Lektion 14 von 54.
x^3 - 64 hat keine Paare, die man gruppieren könnte, aber es folgt einem Muster: x^3 ist x hoch 3 und 64 ist 4 hoch 3. Jede Differenz zweier Kuben lässt sich auf dieselbe Weise faktorisieren:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Mit a = x und b = 4 ergibt sich x^3 - 64 = (x - 4)(x^2 + 4x + 16). Multipliziere es aus, um zu sehen, warum es funktioniert: x mal die lange Klammer ergibt x^3 + 4x^2 + 16x, und -4 mal sie ergibt -4x^2 - 16x - 64. Die mittleren Terme heben sich auf, sodass x^3 - 64 übrig bleibt.
Der quadratische Faktor x^2 + 4x + 16 hat keine reellen Faktoren: Seine Diskriminante, 16 - 64, ist negativ, also sind seine beiden Nullstellen komplex. Damit ist 4 die einzige reelle Nullstelle von x^3 - 64. Lerne die Kubikzahlen 1, 8, 27, 64 und 125, damit du das Muster erkennen kannst.
Aufgabe
Faktorisiere x^3 - 27. Gib die faktorisierten Form als nächste Zeile ein; das Board akzeptiert sie nur, wenn sie dem Ausgangsausdruck entspricht.
Probier es selbst
Faktorisiere den Ausdruck
Teste dich selbstDiese Lektion enthält ein kurzes Quiz. Starte die Lektion, um es zu beantworten und deinen Fortschritt zu speichern.
Alle Lektionen in Polynome und rationale Terme
1Polynomdivision mit schriftlicher Division
So funktioniert die schriftliche DivisionEin Term nach dem anderenEin Rest bleibt übrigEin fehlender TermDivision durch ein quadratisches PolynomRückblick: Schriftliche Division4Polynomgleichungen
Zuerst den gemeinsamen Faktor ausklammernLösen durch GruppierenVierte PotenzenRückblick: Polynomgleichungen2Reste und Faktoren
Der RestsatzDer FaktorsatzEine fehlende Zahl findenEinen bekannten Faktor verwendenZusammenfassung: Reste und Faktoren5Vorzeichentabellen
Zwischen den NullstellenAußerhalb der NullstellenEin negativer LeitkoeffizientEine Vorzeichentabelle lesenWiederholung: Vorzeichentabellen8Rationale Gleichungen
Brüche beseitigenx im NennerÜber Kreuz multiplizierenEine falsche LösungEine richtige, eine falscheWiederholung: Rationale Gleichungen11Abschließende Herausforderungen
Abschluss: Teile es aufAbschluss: Jede WurzelAbschluss: Ein BruchAbschluss: Überprüfe die AntwortAbschluss: Die Vorzeichentabelle3Faktorisieren höheren Grades
Faktorisieren durch GruppierenDurchgehend gruppierenDifferenz von KubenSumme von KubenEine quadratische Gleichung im VerborgenenWiederholung: Faktorisieren