Differenz von Kuben

${x}^{3}-64$ hat keine Paare, die man gruppieren könnte, aber es folgt einem Muster: ${x}^{3}$ ist x hoch 3 und 64 ist 4 hoch 3. Jede Differenz zweier Kuben lässt sich auf dieselbe Weise faktorisieren:

$${a}^{3}-{b}^{3} = \left(a-b\right)\left({a}^{2}+ab+{b}^{2}\right)$$

Mit a = x und b = 4 ergibt sich ${x}^{3}-64 = \left(x-4\right)\left({x}^{2}+4x+16\right)$. Multipliziere es aus, um zu sehen, warum es funktioniert: x mal die lange Klammer ergibt ${x}^{3}+4{x}^{2}+16x$, und -4 mal sie ergibt $-4{x}^{2}-16x-64$. Die mittleren Terme heben sich auf, sodass ${x}^{3}-64$ übrig bleibt.

Der quadratische Faktor ${x}^{2}+4x+16$ hat keine reellen Faktoren: Seine Diskriminante, 16 - 64, ist negativ, also sind seine beiden Nullstellen komplex. Damit ist 4 die einzige reelle Nullstelle von ${x}^{3}-64$. Lerne die Kubikzahlen 1, 8, 27, 64 und 125, damit du das Muster erkennen kannst.