So funktioniert die schriftliche Division

Du kennst bereits die schriftliche Division mit Zahlen. Um 97 durch 4 zu teilen, dividiere 9 durch 4 und erhältst 2, multipliziere 2 mit 4 und erhältst 8, subtrahiere, sodass 1 übrig bleibt, und hole dann die 7 herunter, sodass 17 entsteht. Wiederhole den Vorgang: 17 geteilt durch 4 ist 4, 4 mal 4 ist 16, und 17 minus 16 ergibt 1. Es bleibt nichts mehr zum Herunterholen, also ist der Quotient 24 und der Rest 1.

Polynome werden auf dieselbe Weise dividiert, wobei Terme an die Stelle der Ziffern treten. Um x^2 + 3x + 5 durch x + 1 zu teilen, dividiere die führenden Terme: x^2 durch x ist x. Multipliziere: x(x + 1) ist x^2 + x. Subtrahiere es von x^2 + 3x, sodass 2x übrig bleibt, und hole die 5 herunter, sodass 2x + 5 entsteht. Wiederhole den Vorgang: 2x durch x ist 2, 2(x + 1) ist 2x + 2, und beim Subtrahieren bleibt 3 übrig.

Du hörst auf, wenn der Rest einen niedrigeren Grad als der Divisor hat: 3 enthält kein x, x + 1 dagegen schon. Die Antwort lautet Quotient plus Rest geteilt durch den Divisor, genauso wie 97 geteilt durch 4 gleich 24 plus 1 geteilt durch 4 ist:

(x^2 + 3x + 5)/(x + 1) = x + 2 + 3/(x + 1)

Es lässt sich auch auf dieselbe Weise überprüfen: (x + 1)(x + 2) + 3 ergibt wieder x^2 + 3x + 5.