Faktoren kürzen
Teil des Abschnitts Polynome und rationale Terme der Algebra 2-Journey von Coddy. Lektion 27 von 54.
Ein rationaler Ausdruck ist ein Bruch mit Polynomen im Zähler und Nenner, wie (x^2 - 25)/(x^2 + 3x - 10). Du vereinfachst ihn so wie 6/9: Finde einen Faktor, den Zähler und Nenner gemeinsam haben, und kürze ihn. Faktorisiere zuerst beide. Der Zähler ist eine Differenz von Quadraten, (x + 5)(x - 5), und für den Nenner brauchst du zwei Zahlen, deren Produkt -10 und deren Summe 3 ist; also ist er (x + 5)(x - 2).
((x + 5)(x - 5))/((x + 5)(x - 2))
x + 5 steht in beiden, und (x + 5)/(x + 5) ist überall dort 1, wo x + 5 nicht 0 ist. Es kürzt sich also heraus und übrig bleibt (x - 5)/(x - 2). Nur Faktoren lassen sich kürzen, niemals Terme. Bei (x + 6)/(x + 3) ist es verlockend, die x zu kürzen und 6/3 zu erhalten, was 2 ergibt. Aber für x = 3 ist der Bruch 9/6, also 3/2. Das x wird dort addiert und nicht multipliziert, ist also kein Faktor des gesamten Zählers oder des gesamten Nenners.
Deshalb kommt das Faktorisieren zuerst: Es zeigt, was mit allem multipliziert wird. Wenn kein gemeinsamer Faktor vorhanden ist, ist der Bruch bereits so einfach wie möglich.
Aufgabe
Vereinfache (x^2 - 16)/(x^2 + 7x + 12), indem du den gemeinsamen Faktor kürzt.
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Alle Lektionen in Polynome und rationale Terme
1Polynomdivision mit schriftlicher Division
So funktioniert die schriftliche DivisionEin Term nach dem anderenEin Rest bleibt übrigEin fehlender TermDivision durch ein quadratisches PolynomRückblick: Schriftliche Division4Polynomgleichungen
Zuerst den gemeinsamen Faktor ausklammernLösen durch GruppierenVierte PotenzenRückblick: Polynomgleichungen2Reste und Faktoren
Der RestsatzDer FaktorsatzEine fehlende Zahl findenEinen bekannten Faktor verwendenZusammenfassung: Reste und Faktoren5Vorzeichentabellen
Zwischen den NullstellenAußerhalb der NullstellenEin negativer LeitkoeffizientEine Vorzeichentabelle lesenWiederholung: Vorzeichentabellen8Rationale Gleichungen
Brüche beseitigenx im NennerÜber Kreuz multiplizierenEine falsche LösungEine richtige, eine falscheWiederholung: Rationale Gleichungen11Abschließende Herausforderungen
Abschluss: Teile es aufAbschluss: Jede WurzelAbschluss: Ein BruchAbschluss: Überprüfe die AntwortAbschluss: Die Vorzeichentabelle3Faktorisieren höheren Grades
Faktorisieren durch GruppierenDurchgehend gruppierenDifferenz von KubenSumme von KubenEine quadratische Gleichung im VerborgenenWiederholung: Faktorisieren6Rationale Ausdrücke
Faktoren kürzenAusgeschlossene WerteMultiplizierenDividierenZusammenfassung: Rationale Ausdrücke