Faktoren kürzen

Ein rationaler Ausdruck ist ein Bruch mit Polynomen im Zähler und Nenner, wie $\frac{{x}^{2}-25}{{x}^{2}+3x-10}$. Du vereinfachst ihn so wie $\frac{6}{9}$: Finde einen Faktor, den Zähler und Nenner gemeinsam haben, und kürze ihn. Faktorisiere zuerst beide. Der Zähler ist eine Differenz von Quadraten, $\left(x+5\right)\left(x-5\right)$, und für den Nenner brauchst du zwei Zahlen, deren Produkt -10 und deren Summe 3 ist; also ist er $\left(x+5\right)\left(x-2\right)$.

$$\frac{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}{\left(x+5\right)\left(x-2\right)}$$

x + 5 steht in beiden, und $\frac{x+5}{x+5}$ ist überall dort 1, wo x + 5 nicht 0 ist. Es kürzt sich also heraus und übrig bleibt $\frac{x-5}{x-2}$. Nur Faktoren lassen sich kürzen, niemals Terme. Bei $\frac{x+6}{x+3}$ ist es verlockend, die x zu kürzen und $\frac{6}{3}$ zu erhalten, was 2 ergibt. Aber für x = 3 ist der Bruch $\frac{9}{6}$, also 3/2. Das x wird dort addiert und nicht multipliziert, ist also kein Faktor des gesamten Zählers oder des gesamten Nenners.

Deshalb kommt das Faktorisieren zuerst: Es zeigt, was mit allem multipliziert wird. Wenn kein gemeinsamer Faktor vorhanden ist, ist der Bruch bereits so einfach wie möglich.