Vorzeichen eines Bruchs

Ein Bruch ist genau dann negativ, wenn Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen haben: ein positiver Zähler über einem negativen Nenner oder ein negativer Zähler über einem positiven Nenner. Betrachte $\frac{x-2}{x+5} < 0$. Du kannst nicht beide Seiten wie mit einer Zahl mit $x+5$ multiplizieren, da dessen Vorzeichen unbekannt ist und die Multiplikation mit einer negativen Zahl die Ungleichung umkehrt.

Betrachte stattdessen die Fälle nach Vorzeichen. Entweder gilt $x-2 > 0$ und $x+5 < 0$, oder $x-2 < 0$ und $x+5 > 0$. Im ersten Fall müsste x zugleich größer als 2 und kleiner als -5 sein. Keine Zahl erfüllt beides, daher ist dieser Fall leer. Im zweiten Fall müsste x kleiner als 2 und größer als -5 sein, also $-5 < x < 2$.

Teste eine Zahl zur Sicherheit. x = 0 ergibt -2 über 5, was negativ ist, also gehört sie dazu. x = 3 ergibt 1 über 8, was positiv ist, also gehört sie nicht dazu. Die Lösung liegt zwischen -5 und 2, den beiden Zahlen, bei denen der Zähler oder der Nenner 0 ist.