Vorzeichen eines Bruchs

Ein Bruch ist genau dann negativ, wenn Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen haben: ein positiver Zähler über einem negativen Nenner oder ein negativer Zähler über einem positiven Nenner. Betrachte (x - 2)/(x + 5) < 0. Du kannst nicht beide Seiten wie mit einer Zahl mit x + 5 multiplizieren, da dessen Vorzeichen unbekannt ist und die Multiplikation mit einer negativen Zahl die Ungleichung umkehrt.

Betrachte stattdessen die Fälle nach Vorzeichen. Entweder gilt x - 2 > 0 und x + 5 < 0, oder x - 2 < 0 und x + 5 > 0. Im ersten Fall müsste x zugleich größer als 2 und kleiner als -5 sein. Keine Zahl erfüllt beides, daher ist dieser Fall leer. Im zweiten Fall müsste x kleiner als 2 und größer als -5 sein, also -5 < x < 2.

Teste eine Zahl zur Sicherheit. x = 0 ergibt -2 über 5, was negativ ist, also gehört sie dazu. x = 3 ergibt 1 über 8, was positiv ist, also gehört sie nicht dazu. Die Lösung liegt zwischen -5 und 2, den beiden Zahlen, bei denen der Zähler oder der Nenner 0 ist.