Zwischen den Nullstellen

Um ${x}^{2}-4x-5 < 0$ zu lösen, faktorisiere zuerst: $\left(x-5\right)\left(x+1\right) < 0$. Jetzt geht es um Vorzeichen. Ein Produkt aus zwei Zahlen ist genau dann negativ, wenn ein Faktor positiv und der andere negativ ist. Es gibt also zwei Vorzeichenfälle.

Fall eins: $x-5 > 0$ und $x+1 < 0$, also ist x gleichzeitig größer als 5 und kleiner als -1. Keine Zahl erfüllt beides, daher ist dieser Fall leer. Fall zwei: $x-5 < 0$ und $x+1 > 0$, also ist x kleiner als 5 und größer als -1. Das gilt für jede Zahl zwischen den Nullstellen und wird als eine Kette geschrieben: $-1 < x < 5$.

Die Antwort ist ein zusammenhängender Abschnitt der Zahlengeraden, keine Liste von Zahlen. Prüfe einen Wert darin: Bei x = 0 sind die Faktoren -5 und 1, und ihr Produkt ist wie verlangt negativ. Die Nullstellen selbst sind ausgeschlossen, da das Produkt dort 0 ist und nicht kleiner als 0.