Durchgehend gruppieren

Manchmal bleibt nach dem erneuten Gruppieren der Faktoren noch eine Klammer übrig. Betrachte ${x}^{3}+2{x}^{2}-9x-18$. Das erste Paar ist ${x}^{2}\left(x+2\right)$. Beim zweiten Paar ziehst du -9 heraus, nicht 9: $-9x-18$ ist $-9\left(x+2\right)$. Wenn du das Minuszeichen herausziehst, bleiben die Klammern gleich.

Ziehe nun den gemeinsamen Faktor heraus: $\left(x+2\right)\left({x}^{2}-9\right)$. Aber ${x}^{2}-9$ ist eine Differenz von Quadraten und lässt sich daher ebenfalls faktorisieren:

$${x}^{3}+2{x}^{2}-9x-18 = \left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right)$$

Die Faktorisierung ist erst abgeschlossen, wenn sich keine Klammer weiter faktorisieren lässt. Jeder Faktor ergibt eine Nullstelle, also ist dieses kubische Polynom bei -2, -3 und 3 gleich null.