なぜ指数を掛けるのか

CoddyのAlgebraジャーニー「指数と多項式」セクションの一部。レッスン 17/64。

指数が掛け合わされるのは、同一のコピーに積の法則が適用されるためです。(x^2)^4 は、x^2 を4個掛け合わせたものです：x^2 * x^2 * x^2 * x^2。4個のコピーはすべて同じ底を持つため、積の法則によって指数を足し合わせます：2 + 2 + 2 + 2 = 8。同じ数を4回足すことは、それを4倍することと同じであり、これは 2 * 4 です。

つまり、累乗の累乗の法則は積の法則から導かれます。累乗の同一のコピーに積の法則を適用すると、繰り返しの加法が乗法になります。

結果は (x^2)^4 = x^8 です。同じ考え方は、任意の指数に当てはまります。それぞれのコピーに m 個の因数が含まれ、n 個のコピーがある場合、全部で mn 個の因数があります。