なぜ指数を掛けるのか

指数が掛け合わされるのは、同一のコピーに積の法則が適用されるためです。$\left(x^{2}\right)^{4}$ は、$x^{2}$ を4個掛け合わせたものです：$x^{2}x^{2}x^{2}x^{2}$。4個のコピーはすべて同じ底を持つため、積の法則によって指数を足し合わせます：$2+2+2+2 = 8$。同じ数を4回足すことは、それを4倍することと同じであり、これは $2\cdot 4$ です。

つまり、累乗の累乗の法則は積の法則から導かれます。累乗の同一のコピーに積の法則を適用すると、繰り返しの加法が乗法になります。

結果は $\left(x^{2}\right)^{4} = x^{8}$ です。同じ考え方は、任意の指数に当てはまります。それぞれのコピーに $m$ 個の因数が含まれ、$n$ 個のコピーがある場合、全部で $mn$ 個の因数があります。