文字で表す法則

文字で表した累乗の累乗の法則は、$\left(a^{m}\right)^{n} = a^{mn}$です。これは、任意の底$a$と任意の指数$m$および$n$について成り立ちます。$a^{m}$の各コピーには、$a$の因子が$m$個含まれ、それが$n$個あるので、全部で$a$の因子が$mn$個あります。

たとえば、$a = x$、$m = 3$、$n = 2$の場合、この法則から$\left(x^{3}\right)^{2} = x^{6}$となります。

同じ底を持つ指数について、これで3つの法則が分かりました。積の法則 $a^{m}a^{n} = a^{m+n}$ は、2つの累乗を並べて掛ける場合に使い、指数を足します。商の法則 $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$ は、ある累乗を別の累乗で割る場合に使い、指数を引きます。累乗の累乗の法則 $\left(a^{m}\right)^{n} = a^{mn}$ は、累乗の中にさらに累乗がある場合に使い、指数を掛けます。この3つの法則はすべて、底の因数を数えることから導かれます。