指数を引く理由

因数がペアごとに打ち消し合うため、指数は引き算されます。これを確認するには、$\frac{x^{6}}{x^{2}}$ を完全な形で書き出します。分子には $x$ の因数が6個、分母には $x$ の因数が2個あります。$\frac{x}{x}$ は、$x$ が0でない場合は常に1に等しくなります。したがって、分母の各因数は分子の1つの因数とペアになり、そのペアは1の因数になります。1を掛けても積は変わりません。

2つのペアが打ち消し合い、分子には $x$ の因数が4個残るので、$\frac{x^{6}}{x^{2}} = x^{4}$ となります。$6-2$ という引き算は、累乗の値を引いているのではありません。ペアを作った後に残る因数の数を数えているのです。

同じ対応関係によって、後で出てくる2つのケースを説明できます。1つは、分子と分母の因数の数が同じ場合です。もう1つは、分母の因数の数が分子より多い場合です。どちらも、0と負の指数の章で扱います。