負の指数は逆数

ここで、商の法則をゼロの一歩先まで進めてみましょう。$\frac{x^{2}}{x^{5}}$では、分子と分母から$x$の因子が2つずつ約分され、分母には$x$の因子が3つ残ります。つまり、$\frac{1}{x^{3}}$です。商の法則では指数を引くので、$2-5 = -3$となり、同じ式は$x^{-3}$とも表せます。2つの結果は等しくなければならないので、$x^{-3} = \frac{1}{x^{3}}$です。

負の指数は逆数を意味します。たとえば、$2^{-3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}$です。値が負であるという意味ではありません。

これをパターンとして見ることもできます。2 の指数が 1 下がるたびに、値は 2 で割られます：$2^{3} = 8$、$2^{2} = 4$、$2^{1} = 2$。このパターンを続けると、$2^{0} = 1$、続いて $2^{-1} = \frac{1}{2}$、$2^{-2} = \frac{1}{4}$、$2^{-3} = \frac{1}{8}$ となります。