3분의 2 거듭제곱

${x}^{\frac{2}{3}}$에서 지수의 분자는 짝수입니다. ${x}^{\frac{2}{3}}$는 x의 세제곱근을 제곱한 ${\left(cbrt\left(x\right)\right)}^{2}$입니다. 제곱하면 부호가 사라지므로, 두 수가 같은 거듭제곱 값을 가질 수 있습니다. ${x}^{\frac{2}{3}} = 9$를 살펴봅시다. 27의 세제곱근은 3이고, 3의 제곱은 9이므로 27은 해입니다. -27의 세제곱근은 -3이고, ${\left(-3\right)}^{2}$도 9이므로 -27도 해입니다.

이 식을 풀려면 양변을 3/2제곱합니다. 오른쪽은 앞서 살펴본 것처럼 2/3제곱이 9인 양수 27이 됩니다. 왼쪽은 x가 되지 않습니다. 2/3제곱을 하면 x의 부호가 사라지고, 3/2제곱을 하면 제곱근을 취하게 되는데, 제곱근으로는 부호를 되돌릴 수 없기 때문입니다. 따라서 왼쪽은 $\left|x\right|$가 됩니다.

$${\left({x}^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{3}{2}} = \left|x\right|$$

$\left|x\right| = 27$은 x = 27 또는 x = -27을 의미합니다. ${x}^{2} = 9$에서 3과 -3이 나오는 것과 같습니다.

같은 그림에서 두 가지 간단한 테스트를 할 수 있습니다. 분모인 3은 홀수이므로 세제곱근은 어떤 수든 취할 수 있으며 어느 답도 버릴 필요가 없습니다. 분자인 2는 짝수이므로 거듭제곱의 값은 절대 음수가 될 수 없습니다. 따라서 ${x}^{\frac{2}{3}} = -9$에는 실수 해가 없습니다.