Почему показатели перемножаются

Показатели степеней складываются, потому что применяется правило произведения к одинаковым копиям. $\left(x^{2}\right)^{4}$ — это четыре перемноженные копии $x^{2}$: $x^{2}x^{2}x^{2}x^{2}$. У всех четырёх копий одинаковое основание, поэтому правило произведения складывает показатели степеней: $2+2+2+2 = 8$. Сложение одного и того же числа четыре раза — это то же самое, что умножение этого числа на 4, то есть $2\cdot 4$.

Итак, правило возведения степени в степень следует из правила произведения. Вы применяете правило произведения к одинаковым копиям степени, и повторяющееся сложение превращается в умножение.

Результат таков: $\left(x^{2}\right)^{4} = x^{8}$. Те же рассуждения применимы к любым показателям степени. Если каждая копия содержит $m$ множителей и всего имеется $n$ копий, то всего имеется $mn$ множителей.