Почему показатели вычитаются

Показатели степеней вычитаются, потому что множители попарно сокращаются. Чтобы это увидеть, распишем $\frac{x^{6}}{x^{2}}$ полностью: шесть множителей $x$ в числителе и два множителя $x$ в знаменателе. Дробь $\frac{x}{x}$ равна 1, когда $x$ не равно нулю. Поэтому каждый множитель в знаменателе образует пару с одним множителем в числителе, и эта пара превращается в множитель 1. Умножение на 1 не изменяет произведение.

Две пары сокращаются, и в числителе остаются четыре множителя $x$, поэтому $\frac{x^{6}}{x^{2}} = x^{4}$. Вычитание $6-2$ не вычитает значения степеней. Оно подсчитывает множители, оставшиеся после образования пар.

То же сопоставление объясняет два случая, с которыми вы встретитесь позже. Один из них — когда в числителе и знаменателе одинаковое количество множителей. Другой — когда в знаменателе больше множителей, чем в числителе. Оба рассматриваются в главе о нулевых и отрицательных показателях степени.