Она всегда работает

Вот в чём заключается настоящая сила формулы. x^2 + 3x + 1 = 0: машина не находит пару, потому что над целыми числами её не существует. Формуле всё равно: x = (-3 ± √(3^2 - 4 * 1 * 1)) / 2 = (-3 ± √5) / 2.

Дискриминант 5 не является полным квадратом, поэтому корень остаётся в виде радикала √5, точно как в главе о квадратных корнях. Два решения являются точными иррациональными числами, и формула без возражений записала их.

Таково разделение труда: разложение на множители выполняется быстро, когда это возможно, а формула работает всегда. Если дискриминант является полным квадратом, можно было выполнить разложение на множители; если нет, формула была единственным путём, а радикал в ответе — доказательством.