Она всегда работает

Квадратное уравнение x^2 + 3x + 1 = 0 нельзя разложить на множители с целыми числами. Не существует пары целых чисел, произведение которых равно 1, а сумма — 3. Квадратная формула всё равно работает. Она даёт x = (-3 ± √5) / 2.

Дискриминант равен 5, которое не является полным квадратом. Поэтому квадратный корень остаётся в виде √5, как в главе о квадратных корнях. Два решения являются точными числами, и формула нашла их, несмотря на то что разложение на множители было невозможно.

Квадратная формула работает даже тогда, когда квадратный трёхчлен нельзя разложить на множители с целыми числами. Если коэффициенты являются целыми числами, дискриминант, являющийся полным квадратом, даёт решения, которые являются целыми числами или дробями. Положительный дискриминант, не являющийся полным квадратом, даёт решения со знаком квадратного корня. Выделение полного квадрата — ещё один способ найти те же решения.