Идеальный квадрат

Чтобы разложить на множители $x^{2}+6x+9$, нужно найти пару чисел, произведение которых равно 9, а сумма — 6. Это числа 3 и 3. Два множителя одинаковы, поэтому $\left(x+3\right)\left(x+3\right) = \left(x+3\right)^{2}$. Трёхчлен, который раскладывается в квадрат таким образом, называется полным квадратным трёхчленом.

Для приведения подобного трёхчлена существует быстрый тест. Возьмите половину среднего коэффициента и возведите её в квадрат. Если результат равен свободному члену, трёхчлен является полным квадратом. Здесь половина от 6 равна 3, а $3^{2} = 9$, поэтому $x^{2}+6x+9 = \left(x+3\right)^{2}$.

В предыдущем разделе вы разложили $\left(a+b\right)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$. Разложение полного квадратного трёхчлена на множители использует то же правило в обратном направлении. Средний член — $2ab$, поэтому его половина — $ab$. Свободный член — $b^{2}$. Ищите такую закономерность: квадрат, затем удвоенное произведение, затем квадрат. Если вы её видите, трёхчлен имеет вид $\left(a+b\right)^{2}$.