Двойной корень

Когда дискриминант равен нулю, уравнение имеет одно решение. Возьмём $x^{2}-4x+4 = 0$. Левая часть представляет собой полный квадратный трёхчлен, поэтому его можно записать в виде $\left(x-2\right)^{2} = 0$. Квадрат равен нулю только тогда, когда число, возведённое в квадрат, равно нулю, поэтому $x-2 = 0$ и $x = 2$. Решение одно.

Левую часть также можно разложить на множители: $\left(x-2\right)\left(x-2\right) = 0$. Оба множителя дают одно и то же уравнение, $x-2 = 0$, поэтому оба дают одно и то же решение. Решение, которое получается из двух равных множителей, называется кратным корнем. Кратный корень этого уравнения равен 2.

Дискриминант $x^{2}-4x+4 = 0$ также равен нулю. Здесь $b^{2}$ равно 16, а $4ac$ равно 16, поэтому дискриминант равен $16-16 = 0$. Поскольку он равен нулю, знаки плюса и минуса в формуле корней квадратного уравнения дают одно и то же значение: $x = 2$. Формула, разложение на множители и форма полного квадрата — всё это подтверждает, что уравнение имеет одно решение.