Версия с минусом

Полный квадратный трёхчлен может иметь отрицательный средний член. Рассмотрим $x^{2}-10x+25$. Половина от -10 — это -5, а $\left(-5\right)^{2} = 25$ — это свободный член. Поэтому проверка пройдена, и трёхчлен раскладывается на множители как $\left(x-5\right)^{2}$.

Правило имеет вид $\left(a-b\right)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}$. Средний член отрицателен. Последний член остаётся положительным, потому что квадрат никогда не бывает отрицательным. Сравните это с $\left(a+b\right)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$, где средний член положителен.

Прежде чем выбрать правило, посмотрите на средний член и константу. Разность квадратов имеет вид $x^{2}-a^{2} = \left(x-a\right)\left(x+a\right)$. В ней нет среднего члена. Полный квадратный трёхчлен имеет вид $x^{2}\pm 2ax+a^{2} = \left(x\pm a\right)^{2}$. В нём есть средний член, и знак среднего члена совпадает со знаком внутри квадрата.