Công thức luôn đúng

Phương trình bậc hai $x^{2}+3x+1 = 0$ không thể phân tích thành nhân tử với các số nguyên. Không có cặp số nguyên nào có tích bằng 1 và tổng bằng 3. Công thức nghiệm bậc hai vẫn có hiệu lực. Công thức cho ta $x = \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$.

Biệt thức bằng 5, không phải số chính phương. Vì vậy, căn bậc hai vẫn giữ nguyên dạng $\sqrt{5}$, như trong chương về căn bậc hai. Hai nghiệm là các số chính xác, và công thức đã tìm ra chúng dù không thể phân tích thành nhân tử.

Công thức bậc hai vẫn dùng được ngay cả khi không thể phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử với các số nguyên. Khi các hệ số là số nguyên, biệt thức là số chính phương thì nghiệm sẽ là số nguyên hoặc phân số. Biệt thức dương nhưng không phải số chính phương thì nghiệm sẽ có dấu căn bậc hai. Hoàn thành bình phương là một cách khác để tìm những nghiệm đó.