Hai, một hoặc không có nghiệm

Biệt thức của $ax^{2}+bx+c = 0$ là số nằm dưới dấu căn trong công thức nghiệm bậc hai, $b^{2}-4ac$. Dấu của nó cho bạn biết phương trình có bao nhiêu nghiệm thực trước khi bạn tìm ra bất kỳ nghiệm nào.

Nếu biệt thức dương, phép cộng và phép trừ trong công thức cho hai giá trị khác nhau, nên phương trình có hai nghiệm. Với $x^{2}+4x+3 = 0$, biệt thức là $4^{2}-4\cdot 1\cdot 3 = 4$. Biệt thức dương, nên phương trình có hai nghiệm. Nếu biệt thức bằng không, cộng không và trừ không cho cùng một giá trị, nên phương trình có một nghiệm. Nếu biệt thức âm, không có số thực nào bình phương cho ra số âm, nên phương trình không có nghiệm thực.

Số nghiệm cũng thể hiện trên đồ thị của $y = ax^{2}+bx+c$, một đường cong gọi là parabol. Khi có hai nghiệm, parabol cắt trục x tại hai điểm. Khi có một nghiệm, parabol tiếp xúc với trục x tại một điểm. Khi không có nghiệm thực, parabol không bao giờ chạm tới trục x. Biệt thức cho bạn biết đồ thị sẽ có dạng nào trong ba hình trước khi bạn vẽ nó.