Irrationale Lösungen

Die quadratische Ergänzung funktioniert unabhängig davon, ob die Lösungen ganze Zahlen sind oder nicht – darin ist sie dem Faktorisieren überlegen. Betrachte x^2 + 4x - 1 = 0. Es gibt keine zwei ganzen Zahlen, deren Produkt -1 und deren Summe 4 ist, also lässt sich der Ausdruck nicht faktorisieren. Durch quadratische Ergänzung erhält man trotzdem (x + 2)^2 = 5.

5 ist keine Quadratzahl, daher bleiben die Wurzeln stehen: x + 2 ist √(5) oder -√(5), und x ist -2 + √(5) oder -2 - √(5). Das sind exakte Lösungen. Eine Dezimalzahl wie 0.236 wäre nur ein Näherungswert.

Manchmal lässt sich die Wurzel vereinfachen. x^2 - 2x - 7 = 0 wird zu (x - 1)^2 = 8, und √(8) ist 2√(2), weil 8 das Vierfache von 2 ist. Die Lösungen sind 1 + 2√(2) und 1 - 2√(2).