Quadrate gleich negativen Zahlen

In der Algebra hatte ${x}^{2} = -9$ keine Lösung, weil keine reelle Zahl zum Quadrat -9 ergibt. Mit i hat sie zwei Lösungen. Beginne mit ${x}^{2}+9 = 0$: Bringe die 9 auf die andere Seite, sodass ${x}^{2} = -9$ entsteht, und ziehe dann auf beiden Seiten die Quadratwurzel: $x = 3i$ oder $x = -3i$.

Warum zwei? Sowohl ${\left(3i\right)}^{2}$ als auch ${\left(-3i\right)}^{2}$ ergeben $9{i}^{2}$, also -9, genauso wie sowohl 3 als auch -3 zum Quadrat 9 ergeben. Beim Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten erhält man immer auch das ±.

Die beiden Lösungen sind konjugiert zueinander, und das ist kein Zufall: Wenn eine quadratische Gleichung mit reellen a, b und c eine Lösung mit i hat, ist die konjugierte Lösung die andere Lösung.