Quadrate gleich negativen Zahlen

In der Algebra hatte x^2 = -9 keine Lösung, weil keine reelle Zahl zum Quadrat -9 ergibt. Mit i hat sie zwei Lösungen. Beginne mit x^2 + 9 = 0: Bringe die 9 auf die andere Seite, sodass x^2 = -9 entsteht, und ziehe dann auf beiden Seiten die Quadratwurzel: x = 3i oder x = -3i.

Warum zwei? Sowohl (3i)^2 als auch (-3i)^2 ergeben 9i^2, also -9, genauso wie sowohl 3 als auch -3 zum Quadrat 9 ergeben. Beim Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten erhält man immer auch das ±.

Die beiden Lösungen sind konjugiert zueinander, und das ist kein Zufall: Wenn eine quadratische Gleichung mit reellen a, b und c eine Lösung mit i hat, ist die konjugierte Lösung die andere Lösung.