Die größte Fläche

Teil des Abschnitts Quadratische Funktionen und komplexe Zahlen der Algebra 2-Journey von Coddy. Lektion 41 von 48.

Du hast 40 Meter Zaun, um ein Rechteck vollständig einzuzäunen. Wenn die Breite w beträgt, ergeben die beiden Breiten und die beiden Längen zusammen 40, also ergeben eine Breite und eine Länge zusammen 20. Die Länge beträgt $20-w$ , und die Fläche ist $A\left(w\right) = w\left(20-w\right)$ .

Welche Breite bietet den meisten Platz? Ausmultipliziert ergibt sich $A\left(w\right) = -{w}^{2}+20w$ : eine nach unten geöffnete Parabel, deren Scheitelpunkt die größte Fläche darstellt. Ihre Nullstellen sind w = 0 und w = 20, dort ist das Rechteck flach und hat keine Fläche. Der Scheitelpunkt liegt genau in der Mitte zwischen ihnen, bei w = 10, und $A\left(10\right) = 10\left(10\right)$ , das sind 100 Quadratmeter.

Das beste Rechteck ist ein Quadrat mit Seitenlängen von 10 mal 10. Das ist kein Zufall: Bei einer festen Zaunlänge schließt ein Quadrat immer die größte Fläche aller Rechtecke ein.

Aufgabe

Ein Landwirt hat 60 Meter Zaun für ein rechteckiges Gehege. Ein Gehege mit einer Breite von w Metern ist $30-w$ Meter lang, daher beträgt seine Fläche $A\left(w\right) = w\left(30-w\right)$ Quadratmeter. Finde die größtmögliche Fläche A. Schreibe auf die leere Tafel zuerst die optimale Breite in einer Zeile der Form w = ..., dann die Fläche in einer Zeile der Form A = ... .